вторник, 1 октября 2013 г.

Математизация

Математизация    ~   характерная  черта  современной  науки  и  техники.
Человечество ныне, как никогда, осознало, что знание становится точным только тогда, когда для его описания удаётся использовать математическую модель.
Для решения педагогических задач нам требуется не только знание своего предмета и методики обучения, но и умение направить свою деятельность на формирование личности учащегося. В своей работе исхожу из того, что, педагогический процесс базируется на глубоком психолога - педагогическом анализе индивидуальных и возрастных особенностей личности. Большое значение надо придавать сегодня диагностике уровня сформированности личности школьника и проявлений её индивидуальности. Поэтому в процессе обучения и воспитания, я ориентируюсь на каждого ученика с его индивидуальной потребностно - мотивационной сферой и уровнем общего и умственного развития. При этом педагогическую деятельность планирую и провожу в расчёте на конкретный результат, ориентируемый на различные этапы развития, то есть подчиняюсь логике индивидуального развития учащихся.

Умеем ли мы учиться?

В различных сложных видах человеческой деятельности разработаны и успешно применяются эффективные приемы обучения. Гимнаст, готовящий новую программу, начинает разучивания отдельных элементов. Лишь после того, как каждое отдельное упражнение в достаточной степени освоено, стыкаются между собой различные части программы и вся комбинация шлифуется в целом. Тем же действует и опытный пианист. Новая, технически сложная пьеса разучивается по кускам. Сложные пассажи, фигурации, октавные или аккордовые последовательности - всему этому уделяется отдельное внимание, вплоть до проигрывания специально подобранных упражнений, помогающие преодолеть конкретные технические сложности. Лишь затем пьеса проигрывается в целом и исполнение доводится до совершенства. По иному подходит к делу обычный ученик музыкальной школы. Он бессчетное число раз исполняет пьесу от начала до конца, спотыкаясь и запинаясь на каждом такте. Эффективность такого многомесячного «разучивания» близка к нулю
Положим, что некто желает научиться решать задачи определенного типа, допустим, показательные уравнения. Решение показательного уравнения, как правило, состоит из следующих этапов: а) сведение к алгебраическому (квадратному) уравнению, в) решение алгебраического уравнения и с) решение простейшего показательного уравнения. Следовательно, обучение решению показательного уравнений состоит, собственно, в овладении этапами а) и с). На деле же ученик, занимающийся показательными уравнениями, чуть ли небольшую часть времени занятий посвящает пункту в), то есть тому, что давно уже знает и умеет - решению квадратных уравнений. В то время как в момент обучения он должен сконцентрировать свое внимание прежде всего на пункте а). Весьма помогает такой концентрации прием решения задач «вприглядку». Откройте любой хороший задачник, содержащий достаточное количество показательных уравнений, и решайте их, начиная от простых задач, одними глазами, без помощи ручки и бумаги. «Решение» состоит в указании способа сведения данного показательного уравнения к алгебраическому, т. е. к обработке исключительно этапа а). Значительная доля показательных уравнений действительно решается «вприглядку». Пропускайте те задачи, для которых сведение к алгебраическому уравнению быстро не находится -над ними нужно подумать отдельно. За 15-20 минут такого «блицтурнира» с самим собой Вы научитесь большему, чем за 2 - 3 часа обычных занятий.
Изложенным методом можно отрабатывать существенные элементы решения задач самых различных типов. Конечно изредка, для контроля, решения некоторых интересных задач нужно проводить от начала до конца.

Ошибка или небрежность

Удивительная легкость, с которой почти каждый школьник готов отказаться от только, что проведенных им математических выкладок, говорит о том, что он либо не считает важным дело своего обучения, либо, скорее всего, не очень верит в эти выкладки. А не верит он в них потому, что не привык, или не желает жестко себя контролировать. При таком отношении к делу мудрено чему-либо научиться. Скажем квадратное уравнение решают одинаковым образом и профессор математики, и ученик 9-го класса средней школы. Но попробуйте сказать профессору, что он решил квадратное уравнение неверно. Если такой казус действительно случился, для профессора это будет трагедией. А с ученика, даже выпускного класса школы -как с гуся вода! Представьте себе, что в сочинении на революционную тему ученик в слово-сочетании «паровозные топки» по ошибке заменил букву «т» на букву «п». И учитель в назидание, зачитает сочинение в классе вслух. Не трудно представить оглушительный хохот и беспрерывные насмешки, которые ученику придется мужественно терпеть может быть и пол - года. Но эффект такого, хотя и жестокого, лечения небрежности будет огромен.
 По-видимому, стыд от допущенной математической небрежности должен испытывать не только профессор, но каждый человек, готовящийся профессионально применять математику в своей деятельности.

О надежности вычислений

Математические выкладки производятся по четко установленным правилам. Результат правильного математического вычисления всегда одинаков, он не может зависеть от того кто, когда и в ка¬ком месте земного шара его производит; иначе манипуляции с математическими символами потеряли бы всякий смысл. Поэтому забота о надежности проводимых выкладок есть первейшая обязанность вычислителя. Особого внимания требуют такие стандартные математические операции, как перемена знака у некоторого выражения, освобождение от знаменателя, раскрытие модуля, и т. д. Часто приходится наблюдать, как ученик «сдваивает» эти операции. Например, раскрывая модуль, одновременно меняет знак у подмодульного выражения, или освобождается от знаменателя и одновременно переносит все члены уравнения в одну сторону.
 Опытный вычислитель выполняет эти ответственные действия, как правило, строго последовательно. Точно также, например, как и опытный водитель, который максимально сосредоточен при проезде перекрестка и никогда не пойдет на двойной обгон. Математические ошибки нельзя разделить на серьезные и несерьезные. Если космический корабль отклонился от предписанной траектории, то неважно по какой конкретной причине это произошло: забыл ли математик учесть определенный член в уравнении движения корабля, либо программист, набивая программу, не поставил в нужном месте запятую. Поэтому, совершенно справедливо не считается решенной на экзамене задача, в которой ответ дан «всего лишь(!)» с неверным знаком. Если ученик не в состоянии выучиться точно проводить математические выкладки, он вряд ли может быть признан профессионально пригодным для обучения в высшей школе.

О "понимании"

Нередко можно наблюдать как добросовестный ученик приходит в отчаяние от своей неспособности немедленно освоить какое-либо новое, сложное понятие.
Одни из лучших преподавателей МГУ им. М, В. Ломоносова, доцент В. Д. Кукин часто говорил студентам:
 «Студент сначала не понимает, а потом - привыкает!» 
Как глубока и мудра эта фраза! Когда-то в начальной школе, непонятными были отрицательные числа. Затем - модуль, комплексные числа, понятия предела и т. д., до бесконечности! Существуют рубежные, ключевые понятия во всякой науке, не только в математике.
Нужны время и практика чтобы привыкнуть к новому понятию и научиться его правильно использовать. А это, возможны, и есть «понимание».

Математика: средство или профессия.

Приступая к изучению какой-либо серьезной науки, полезно, хотя средство или профессия? бы отчасти, отдавать себе отчет: с какой целью изучается эта наука? Огромное большинство школьников изучают в школе иностранный язык, но до недавнего времени лишь единицы из них были способны объясниться с иностранцем на улице. Однако замечено, что если человеку предстоит длительная зарубежная командировка, или даже просто увлекательное туристическое путешествие, его способности к языкам многократно возрастают. Отсюда мораль: бессмысленно учить что-либо впрок, в расчете на то, что изучаемое «когда-нибудь пригодится». Мы не разучиваемся читать и считать только потому, что делаем это ежедневно. Конечно, можно зубрить предмет, чтобы успешно сдать экзамен. Однако человеческая природа хитра. При такой внутренней установке изучаемое автоматически помещается лишь в «ближнюю» память и человек благополучно забывает все, с таким трудом вызубренное, через пару недель после успешно сданного экзамена. Поэтому лучше будет знать предмет тот, кто учит его, пусть в известных пределах, но с расчетом на длительное применение, и кто действительно применяет изученное в своей практике.
Хорошее знание математики увеличит возможности инженера и биолога, экономиста и бизнесмена. Математический аппарат является рабочим инструментом химика, физика и программиста. И, наконец, лишь для некоторых, для избранных, математика станет судьбой.

Математика или грамматика

Наблюдая в очередной раз, как выпускник средней школы усиленно морщит лоб, пытаясь, например, разделить одну дробь на другую, поневоле задумаешься, в чем тут дело. Особенно если этот же ученик только, что уверенно решил, скажем, сложное показательное неравенство или вычислил каверзный предел. В русском языке есть понятие практической грамотности. Практически грамотный человек безупречно изъясняется и правило пишет не помня, фактически, ни одного правила грамматики. Помогает ему приобретенная ранее интуиция и каждодневная практика устной и письменной речи. Однако (неосознанная) попытка применить этот же метод в математике приводит, рано или поздно, к ошибкам и неуверенности в своих действиях. Заметим, что родной язык мы употребляем все же гораздо чаще, чем математический. Кроме того, в силу гибкости языка, трудное место можно легко обойти, выразив ту же мысль по-другому. В математике это обычно невозможно. В то же время, математические выкладки имеют смысл, только если они проводятся абсолютно точно. Необходимо, поэтому, постоянно восстанавливать в памяти точные правила выполнения даже самых простых математических операций и определения основных понятий. К счастью, число действительно фундаментальных понятий и операций в математике сравнительно невелико

Основы понимания

Математические определения возникают не произвольно, не по чьей-то прихоти. Они выстраданы и выношены всем предыдущим, так сказать, «внутриутробным», развитием какого-либо раздела математике. Как правило, окончательную формулировку математические определения приобретаю лишь к моменту, когда развитие данного раздела математики в главных чертах закончено. (Так, Ньютон и Лейбниц вычисляли производные и интегралы задолго до того, как близкое к современному определению предела, т. е. понятия, которое лежит в основе этих операций, впервые появилось в учебнике анализа Коши). С другой стороны, когда накопленный материал приводится в систему в монографии или учебнике, то определения даются, естественно, в самом начале изложения. В этом состоит большая трудность для человека, впервые изучающего предмет, поскольку информация о том, чем мотивировано данное, часто довольно абстрактное, определение в начальный момент отсутствует. А ведь новичку нужно как-то вдуматься в определение, понять его целесообразность. Тем более, что переоценить важность определений невозможно! Структура математики такова, что коль скоро определения даны, а правила логики сформулированы, все содержание данного раздела (или даже многих разделов и ветвей) математики однозначно предрешено. Математическое определение - это своего рода молекула ДНК, в которой за¬шифрована вся информация о будущем развитии организма. Поэтому, во избежании «мутаций», ни одно слово, ни одну запятую в данном определении нельзя опустить или переставить.

Знание или вера?

Формулы, тригонометрии многие ученики воспринимают с благоговейным страхом. Вопрос об их происхождении ставит учеников в тупик. Смутное, туманное представление о том, что знание возникает не чуть ли не как результат божественного откровения, осеняющего изредка истинных подвижников науки, по-прежнему весьма близко человеческой душе. Но если знание есть откровение, то оно священно! Можно лишь переписывать раз найденное из книги в книгу, можно комментировать, интерпретировать и дополнять, но радикально менять, отбрасывать нельзя! Более того, чем старше книга, чем древнее теорема, тем большее святотатство совершит тот, кто посягнет на их истинность. Встретившись с таким подходом, нужно проявить осторожность: перед нами система взглядов, основанная на вере. Следовательно, как бы мудрено она ни называлась, это не наука, а религия. В науке у теорем, выводов и других результатов нет возраста. Они вечно молоды, потому что переоткрываются и продумываются заново каждым новым поколением исследователей с учетом всех, как новых, так и уже накопленных данных. Наибольшей доблестью в науке является вскрытие неясностей и противоречий в прежних научных положениях, потому что именно из противоречий, из их разрешения растет новое, более точное и полное знание. В частности, и формулы тригонометрии каждый серьезный ученик должен продумать и вывести для себя сам. Только тогда на них можно будет уверенно опираться в дальнейшем.

Запоминать или выводить

Объём материала, которым должен владеть выпускник средней школы, достаточно велик. Но он мал по сравнению с тем обширным количеством сведений, которое усваивает выпускник ВУЗа. В свою очередь, от студенческого диплома до переднего края науки часто также лежит неблизкий путь. Удивительно поэтому, что достаточно много людей годам 30-ти успешно проходит эту тернистую дорогу. Достигает успеха тот, кто смолоду учится усваивать материал активно, творчески. Голова такого человека меньше всего похожа на библиотеку, где все разложено по полочкам, либо на память персонального компьютера с ее файлами, в нужный момент вызываемыми на экран. Основу основ составляет, по-видимому тонкое умение безошибочно проводить длинные цепочки логических рассуждений, отправляясь от простых и очевидных (или принятых за основные) положений. Важное значение имеет также критическое восприятие нового материала. При таком подходе к обучению нужна информация в любой момент воспроизводится из некоторого минимума тщательно ото¬бранных исходных данных. Наблюдая такую работу мощного, тренированного ума, сторонний наблюдатель приходит в неподдельный восторг и восхищение. Эффективности же его, в сочетании с интуицией, может позавидовать (пока что) любой компьютер!

Непостижимая эффективность математики

По классификации академика Л.Д. Ландау науки делятся на естественные (физика, химия, биология и т. д.), неестественные (история, философия, политология и др.). Математику же Ландау называл наукой сверхъестественной. Действительно, между математикой и естественными науками имеются существенные различия. Естественные науки исследуют явления и процессы, происходящие в окружающем нас мире и главным критерием истинности в этих науках является опыт, экспериментальный факт. Математика же в значительной мере «придумывается» математиками.
Поэтому проверять математику опытным путём бессмысленно. В математике допустимо, по-видимому, всё, что не противоречиво. Удивительно, что наука «выдуманная», сугубо умозрительная, так хорошо подходит для описания объективной реальности, существующей вне нас и независимо от нас! Конечно, основные понятия математики, такие как множество, число, геометрическая фигура и т. д.
 Есть глубокая абстракция опыта. Более того, используемые в математических доказательствах правила логического вывода, несомненно, есть плод многовековой успешной человеческой деятельности. Тем не менее, опыт и практика человека ограничены естественными для него масштабами величин. В физике, например, это приводит к тому, что повседневному человеческому опыту адекватны лишь понятия механики Ньютона, то есть механики малых скоростей. Явления, происходящие при слишком больших скоростях относительного движения человеком интуитивно непостигаемы. Неудивительно поэтому, что для правильного описания этих явлений физикам пришлось радикально изменить коренные физические представления о пространстве, времени, одновременности событий и т. д. Однако с точки зрения математики дело сводится лишь к изменению закона преобразования величин при переходе из одной движущейся системы координат в другую. Всеохватность математики, универсальное применение её понятий и методов как в микромире (описание по¬ведения кварков) так и в макромире (разбегание галактик) остаётся удивительным и необъяснимым фактом современной науки.

О математике

Все удивительные вещи на свете: самолеты и автомобили, подвод­ные лодки и телевизоры, фотоаппараты, телефоны, компьютеры, - все это движется, дейст­вует и непрерывно совершенствуется потому, что на свете есть математика! Мало, того, за пределами обычных человеческих масштабов лишь математика дает нам косвенное предста­вление о том, как устроен мир, где мы существуем. Поэтому очень важно овладеть математикой, когда запоминаются лишь самые прос­тые и очевидные факты (аксиомы!), а все остальное - выводится.
 При этом отпадает нужда в каких -либо справочниках и шпаргалках, и торжествует принцип Диогена: «Все свое ношу с собой!» «Десять страниц математики понятой лучше ста страниц, заученных на память и непо­нятных, и одна страница, самостоятельна проработанная, лучше десяти страниц, понятых отчетливо, но пассивно».
 Д. Юнг